Indice
Questa pagina tratta la teoria necessaria per interpretare correttamente i moduli. Non descrive pulsanti o API: serve a capire che cosa viene calcolato e quali ipotesi devono essere rispettate.
1. Segnale campionato e spettro
Un segnale discreto x[n] è ottenuto campionando una grandezza nel tempo o lungo un'altra coordinata uniforme. Se l'intervallo di campionamento è \(\Delta t\), la frequenza di campionamento è \(f_s=1/\Delta t\) e la frequenza di Nyquist è \(f_N=f_s/2\). Le componenti sopra Nyquist si ripiegano nella banda osservabile: è aliasing.
2. DFT e FFT
La DFT rappresenta un blocco finito di \(N\) campioni come somma di esponenziali complesse discrete. La FFT è un algoritmo efficiente per calcolare la DFT; non è una trasformazione scientificamente diversa. Per un blocco campionato a \(f_s\), la spaziatura dei bin è approssimativamente \(\Delta f=f_s/N\).
Aumentare NFFT tramite zero-padding rende più fitta la griglia visualizzata ma non crea nuova risoluzione fisica: la capacità di separare componenti vicine dipende soprattutto dalla durata del record e dalla finestra.
3. Record finito, leakage e finestre
La DFT tratta il blocco osservato come un periodo di un segnale periodico. Se il blocco non contiene un numero intero di periodi, l'energia di una componente si distribuisce su più bin: è spectral leakage.
| Finestra | Idea | Uso tipico |
|---|---|---|
| Rectangular | Massima risoluzione del lobo principale, lobi laterali elevati. | Toni coerenti con il blocco. |
| Hann / Hamming | Compromesso generale tra larghezza del lobo e leakage. | Analisi generica, Welch, STFT. |
| Blackman-Harris | Lobi laterali molto attenuati, lobo principale più largo. | Ricerca di componenti piccole vicino a componenti grandi. |
| Flat-top | Ottimizza l'accuratezza di ampiezza vicino al massimo del bin. | Misure di ampiezza di toni, sacrificando risoluzione. |
La scelta della finestra cambia coherent gain, power gain ed equivalent noise bandwidth. Per questo ampiezza e PSD devono essere normalizzate in modo coerente con la finestra usata.
4. Detrend e componente DC
La rimozione della media attenua l'effetto di un offset costante; un detrend lineare rimuove anche una deriva di primo ordine. Va usato solo se offset o drift non appartengono al fenomeno da misurare. Eliminare sistematicamente la DC può distruggere informazione reale.
5. Spettro one-sided e two-sided
Per un segnale reale lo spettro complesso è coniugato-simmetrico. Un risultato one-sided conserva da 0 a Nyquist e applica la normalizzazione necessaria per mantenere ampiezza o potenza coerenti. Per segnali complessi, o quando interessa la distinzione fra frequenze positive e negative, il two-sided spectrum resta necessario.
6. Ampiezza, potenza, PSD e ASD
| Grandezza | Significato | Unità tipica |
|---|---|---|
| Amplitude spectrum | Ampiezza attribuita ai bin/righe spettrali. | stessa unità del segnale |
| Power spectrum | Potenza o mean-square associata ai bin. | unitಠ|
| PSD | Power Spectral Density: potenza per unità di banda. | unità²/Hz |
| ASD | Radice della PSD. | unità/√Hz |
La PSD è particolarmente utile per rumore e processi stocastici perché consente confronti meno dipendenti dalla larghezza dei bin. Una rappresentazione in dB è una trasformazione logaritmica della grandezza scelta, non una nuova quantità fisica.
7. Welch: mediare per ridurre la varianza
Il metodo di Welch suddivide il record in segmenti, applica detrend e finestra a ogni segmento, calcola periodogrammi e li media. Segmenti più corti aumentano il numero di medie ma peggiorano la risoluzione in frequenza; segmenti più lunghi fanno il contrario. L'overlap aumenta il numero di stime disponibili senza richiedere un record più lungo, ma le stime diventano correlate.
8. STFT e analisi tempo-frequenza
La Short-Time Fourier Transform applica una trasformata a finestre successive. La window size governa il compromesso tempo/frequenza; lo step governa la distanza fra finestre e quindi il campionamento temporale della mappa. Una finestra lunga distingue meglio frequenze vicine ma localizza peggio un transiente nel tempo.
9. Cross-spectrum
Per due segnali sincroni \(x(t)\) e \(y(t)\) si definiscono auto-spettri \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) e cross-spettro \(S_{xy}\). La fase del cross-spettro misura la relazione di fase media fra i segnali; la sua grandezza partecipa alla misura di coerenza.
10. Coerenza
La magnitude-squared coherence è
\[\gamma^2(f)= rac{|S_{xy}(f)|^2}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}\]
e idealmente varia fra 0 e 1. Una coerenza elevata indica una relazione lineare ripetibile fra ingresso e uscita in quella banda; una coerenza bassa può derivare da rumore, non linearità, sorgenti non correlate, scarsa media statistica o time alignment errato.
11. Funzioni di trasferimento H1 e H2
Due stimatori comuni sono \(H_1=S_{xy}/S_{xx}\) e \(H_2=S_{yy}/S_{yx}\). H1 è normalmente preferito quando il rumore dominante è sul lato di uscita; H2 è utile quando è rilevante il rumore sul lato d'ingresso. Nessuno dei due corregge automaticamente un esperimento mal configurato.
12. Analytic signal ed envelope
Il segnale analitico combina il segnale reale e la sua trasformata di Hilbert. Il modulo del segnale analitico è l'inviluppo. Analizzare lo spettro dell'inviluppo permette di evidenziare modulazioni lente che agiscono su una portante o una banda di risonanza.
Una demodulation band opzionale può isolare la regione portante prima dell'estrazione dell'inviluppo. La banda deve essere scelta sulla base del fenomeno fisico, non per massimizzare visivamente un picco.
13. Cepstrum
Il real cepstrum applica una trasformata inversa al logaritmo del modulo spettrale. L'asse risultante è il quefrency, dimensionalmente simile al tempo ma con significato diverso. Picchi di quefrency possono indicare periodicità della struttura armonica o dell'eco.
14. Analisi armonica e THD
Se la fondamentale è \(A_1\) e le armoniche considerate sono \(A_2...A_K\), una definizione comune di THD di ampiezza è \(\sqrt{A_2^2+...+A_K^2}/A_1\). La misura dipende da come vengono cercati i picchi, dall'ampiezza della finestra di ricerca, dalla risoluzione spettrale e dal fatto che la fondamentale sia rilevata correttamente.
15. Fractional-octave
Le bande 1/n d'ottava raggruppano energia su intervalli il cui rapporto fra limiti è costante. In GX-TXT il modulo dedicato integra una PSD lineare per Hz in bande fractional-octave. È un'integrazione spettrale; non va automaticamente equiparata alla certificazione di un filter bank strumentale IEC.
16. Spectral features
Descrittori come centroid, spread/bandwidth, flatness, crest factor ed entropy comprimono uno spettro in pochi numeri. Sono utili per confronto, classificazione e monitoraggio, ma perdono informazione: due spettri molto diversi possono condividere alcuni descrittori.
17. Errori di interpretazione frequenti
- Confondere risoluzione grafica da zero-padding con risoluzione fisica.
- Confrontare amplitude e PSD senza considerare le diverse unità.
- Ignorare la finestra e la sua ENBW.
- Usare Welch per un transiente fortemente non stazionario senza controllare le finestre.
- Interpretare H1/H2 dove la coerenza è bassa.
- Confondere un picco nell'envelope spectrum con una nuova portante fisica.
- Usare THD senza verificare fondamentale, bin width e leakage.
18. Da teoria a GX-TXT
La teoria diventa workflow riproducibile tramite Dataset canonici, Temporal Sets, servizi matematici e moduli Analysis. La pagina Framework descrive questo passaggio senza ripetere le formule.